Primeiro, uma brincadeira. Há um jogo de adivinhação no qual
são apresentados para uma pessoa uma série de cartões como da figura.
Vamos por partes. Primeiro, a pessoa pode pensar que você é
um super perito na arte da observação e imediatamente percebeu que o único
número que aparece naqueles cartões que ela indicou foi o número pensado. Por
exemplo, digamos que ela pensou no número 11. A pessoa lhe dirá que ele aparece
no primeiro, segundo e quarto cartões e é o único número que aparece apenas
nesses cartões. Uma pessoa super atenta e observadora talvez consiga perceber
isso rapidamente. Mas há um truque mais simples: apenas some os primeiros
números dos cartões indicados. No caso, eles são 1, 2 e 8, o que dá 11.
Em qualquer caso, para adivinhar o número pensado, some os
primeiros números que aparecem nos cartões: ele é a resposta. Mas, por que
funciona? Como funciona?
O que
é uma base numérica?
Quando
escrevemos um número, digamos, 325, todo mundo sabe quanto é isso, pois há uma
convenção que todos conhecem. A posição (ou casa, como é mais comumente chamada)
mais à direta corresponde à quantidade de unidades, no caso, 5. A casa
imediatamente à sua esquerda corresponde à quantidade de dezenas, no caso, 2. A
posição seguinte corresponde à quantidade de centenas, 3, no caso. Se forem 325
pontinhos pretos, por exemplo, a figura a seguir representa o que significa
isso: três pacotes com cem pontinhos cada, dois pacotes com dez pontinhos cada
e mais cinco pacotes com um pontinho só em cada um deles.
Dito em outras palavras, na base
decimal, a posição mais à direita vale 1; a posição imediatamente a sua
esquerda vale 10; a posição seguinte à esquerda vale 100 e assim por diante: as
diferentes posições correspondem a diferentes potências de 10.
A
convenção usada, o sistema de numeração decimal, não é a única possível.
Qualquer outra é igualmente correta e se usamos a base dez é porque,
provavelmente, usamos, ao longo da história, nossos dedos para contar. Como
temos dez dedos nas mãos, a convenção da base dez é quase natural. Mas também
pode ser natural o uso da base 20, por exemplo, se algum povo usava os artelhos
também para contar coisas. Segundo a Wikipédia (versão em inglês, consultada em
julho/2015), os maias usavam a base 20. Segunda a mesma fonte, grupos
originários das regiões do atual estado da Califórnia, nos EUA, e do México,
usavam a base oito, pois usavam como referência o espaço entre os dedos para
indicar quantidades em lugar dos próprios dedos.
Para a
base 10, precisamos de dez símbolos, do zero ao nove, para representar as
unidades; um número maior do que 9 é escrito indicando quantas dezenas temos;
caso tenhamos mais do que 9 dezenas, as agrupamos em centenas e indicamos
quantas elas são e assim por diante. Para a base 8, precisamos oito símbolos,
claro. Para a base 20, de vinte símbolos etc.
O
sistema da base 2, ou sistema binário, muito usado em computação, necessita de
apenas dois símbolos, ou dois dígitos, o zero e o um. Em computadores, esses
dois dígitos podem ser representados por apenas dois níveis diferentes de
tensão, ou com um padrão do tipo “aceso”
e “apagado” ou “ligado” e “desligado” etc.
No
sistema binário, a casa ou posição mais à direita é a das unidades e os dois
algarismos usados são zero e um. A casa imediatamente à esquerda vale dois.
Assim, uma unidade nessa casa corresponde a 2 na base dez. A casa à esquerda
dela vale 4 na base dez. Por exemplo, o número 101 na base dois é igual a 5 na
base dez. O número 1000 na base dois é igual a 8 na base dez. O número 325 na
base dez é igual a 101000101 na base dois.
Mas, o
que isso tem a ver com o problema? Se você observar os catões numerados, verá
que o número mais acima de cada um deles corresponde ao valor, na base dez, de
cada casa da base dois. E os números que aparecem abaixo são aqueles que têm
uma unidade naquela casa quando expressos na base dois. Por exemplo, o número
11 na base dez é 1011 na base dois, aparecendo, portanto, no primeiro, segundo
e quarto cartões. Ora, mas o número 1011 é igual à soma 1000+10+1 na base dois,
ou seja, à soma 8+2+1 na base dez. Como os número que aparecem nas partes
superiores dos cartões são aqueles que têm o algarismo 1 em uma única posição
na qual o número a ser descoberto também tem o algarismo1, basta somá-los para
descobrir o número secreto.
Os
cartões vão apenas até o número 15 (na base dez); se você quiser estender o
problema para números maiores, basta construir outros cartões, 16, 32, 64 etc.
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