Alguns jogos para quebrar a cabeça

Aqui estão alguns jogos que envolvem de raciocínios parecidos com os que usamos para resolver quebra-cabeças. Esses jogos também podem ser úteis em uma viagem chata ou em um dia de chuva na praia.
Alguns dos jogos são descritos com palitos de fósforos. Afinal, eles são antigos, do tempo em que não havia acendedores piezoelétricos de fogão, nem fogões com acendedores automáticos e os isqueiros eram muito raros. Por causa disso tudo, palitos de fósforos eram muito comuns. Mas, claro, podem ser jogados com palitos de dentes, pedrinhas, grãos de feijão etc.


Quem pegar o último palito perde.
Coloque certa quantidade de palitos de fósforo em uma mesa. Cada um dos dois oponentes pode pegar 1, 2 ou 3 palitos de cada vez. Quem pegar o último perde. Qual seria uma boa estratégia para ganhar?
Você ganhará se deixar na mesa apenas um palito para seu adversário na última jogada. Mas, para isso, na jogada anterior você deverá deixar 5 palitos para seu adversário: se ele pegar um, você pega três, sobrando um para ele; se ele pegar 2, você pega 2; e se ele pegar três, você pega um. Em qualquer um desses casos, na próxima jogada ele terá apenas um palito, o último, para pegar.
Mas para deixá-lo com 5 palitos, na jogada anterior você deverá deixar 9 palitos na mesa: qualquer que seja a quantidade de palitos que ele pegar, você pega uma quantidade tal que restem apenas 5 na mesa. Continuando com esse raciocínio, tente deixar seu adversário com 9 ou 13 ou 17 ... palitos; esses são os números perdedores. A cada jogada, deixe-o com um desses números perdedores.
Caso os dois adversários conheçam essa estratégia e não errem, então se no início do jogo tiver 1, 5, 9, 13, 17 ... palitos, quem começar perde, pois esses são os números perdedores. Mas em qualquer outro caso, quem começar ganha. Se você for jogar, tente sempre começar quando a quantidade de palitos for diferente desses números perdedores e seja gentil com seu adversário, deixando-o começar, caso a quantidade de palitos iniciais seja igual a um dos números perdedores.



Onde colocar a moeda?
Em uma mesa ou qualquer outra superfície circular, adversários devem colocar alternadamente uma moeda. Todas as moedas devem ser idênticas. Quem não tiver mais lugar para colocar uma moeda, perde. Como jogar para ganhar?
Quem começar o jogo coloca a moeda exatamente no centro da mesa. A seguir, a pessoa que começou o jogo coloca sua moeda em uma posição simétrica (em relação ao centro da mesa) à posição na qual o adversário tiver colocado sua moeda. Esse lugar sempre estará vazio e em algum momento seu adversário não terá mais onde colocar uma moeda.
Por exemplo, veja a figura a seguir. Sua primeira jogada foi colocar uma moeda bem no centro (suas moedas são aquelas com bardas escuras). A seguir seu adversário colocou uma moeda, por exemplo, à direita. Você, então, coloca uma moeda do outro lado em relação ao centro da mesa, à mesma distância do centro (na ponta da flecha): esse lugar sempre estará vazio. E continue assim, sempre colocando sua moeda em uma posição oposta àquela moeda colocada por seu adversário. Mais cedo ou mais tarde, seu adversário não terá onde colocar uma moeda.





Um jogo muito antigo
Esse tipo jogo é muito famoso, inclusive por causa da quantidade de matemáticos que o estudaram seriamente, para descobrir as estratégias que levam à vitória. O jogo é o seguinte. Arrume 4 filas com 1, 3, 5 e 7 palitos em cada uma delas. Dois adversários jogam alternadamente. Cada um pode pegar qualquer quantidade de palitos, mas de uma única fila. Por exemplo, pode pegar 1, 2 ou 3 palitos da fila que tem 3 palitos. Aquele que pegar o último palito perde.  Qual a estratégia para ganhar?


Procure deixar para seu adversário as seguintes quantidades de palitos nas quatro filas:
1, 3, 5, 7
1, 2, 4, 7
1, 2, 5, 6
1, 3, 4, 6
1, 1, 5, 5
1, 1, 4, 4
1, 1, 3, 3
1, 1, 2, 2
2, 5, 7
3, 4, 7
3, 5, 6
2, 4, 6
1, 4, 5
1, 2, 3
1, 1, 1
5, 5
4, 4
3, 3
2, 2
Essas são as configurações perdedoras. A menos que você encontre uma dessas situações, você sempre conseguirá deixar para seu adversário uma dessas configurações.
Note que a configuração inicial, 1, 3, 5 e 7, é perdedora. Portanto, seja gentil: deixe o adversário começar.
Uma regra para identificar as configurações perdedoras
Os matemáticos que estudaram esses jogos, na verdade, não ficaram restritos apenas a essas quantidades de palitos e à regra de quem pegar o último perde. Eles consideraram várias outras possibilidades e, também, a regra de quem pegar o último ganha. Um dos resultados obtidos pelos matemáticos é bem útil e não exigirá que você memorize todas as possibilidades. Vamos ilustrar a regra antes de descrevê-la. Considere esta configuração perdedora, 1, 3, 4 e 6 e escreva esses números na base 2. Eles são
1: 0 0 1
3: 0 1 1
4: 1 0 0
6: 1 1 0
 Note que você tem uma quantidade par de dígitos 1 na a casa mais à direita, uma quantidade par de dígitos 1 na segunda casa da direita para a esquerda e também uma quantidade par de dígitos na primeira casa à esquerda. Essa característica, quantidade par de dígitos em cada casa, é uma configuração perdedora: quem a encontrar perderá o jogo a menos que o adversário faça um erra.
A essa regra há duas exceções: a configuração 1, 1, 1, 1 não é uma configuração perdedora, embora esses números tenham quatro dígitos 1 na última casa quando escritos na base 2. A configuração 1, 1, 1 é perdedora, embora tenha uma quantidade ímpar de dígitos na última casa.
Assim, você não precisa memorizar aquelas muitas configurações perdedoras e que você deve deixar para seu adversário: basta memorizar que elas devem ter uma quantidade par de dígitos 1 em cada uma das casas e lembrar apenas das duas exceções.



O velho jogo da velha e o jogo da soma 15
O jogo da velha, aquele que consiste em se colocar pequenas cruzes ou pequenos círculos em uma matriz com três por três posições, é um dos mais populares e antigos. Ganha aquele que conseguir colocar suas marcas em três casas ao longo de uma linha, uma coluna ou uma diagonal. Se os dois jogadores souberem jogar e não cometerem erro, esse jogo sempre acabará empatado. Não é o caso de descrever todas as possibilidades para saber qual a estratégia para não perder, independentemente de quem começa o jogo. Com um pouco de paciência e atenção, sempre analisando quais as possibilidades do adversário depois de cada jogada sua, é possível evitar a derrota. E se o adversário errar, garantir a vitória.
Aqui vai um jogo que tem alguma coisa em comum com o jogo da velha. Em uma mesa, há 9 peças com números de 1 a 9. Os jogadores, que podem ver os números das peças, escolhem, alternadamente, uma delas. Aquele que com quaisquer três peças que tenha pego conseguir somar, antes do adversário, 15 ganha o jogo.
Qual a estratégia para não perder? Há uma estratégia para ganhar sempre?


A estratégia é a seguinte. Considere um quadrado mágico de três por três, como o da figura abaixo: cada linha, cada coluna e cada uma das duas diagonais somam 15. Vá pegando as peças numeradas de 1 a 9 como se estivesse jogando o jogo da velha, ou seja, a cada vez que pegar uma peça e que seu adversário fizer o mesmo, imagine que são pequenas cruzes ou círculos em um jogo da velha. (Se você não conseguir memorizar, anote em um papel com o desenho do jogo da velha a posição correspondente ao número que você pegou, fazendo o mesmo com as escolhas do seu adversário.) Você conseguirá nunca perder, como no jogo da velha.

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