Em um
canudinho de refrigerante, muito, muito fino, há um barbante estendido ao longo
de todo seu comprimento (figura superior). Posteriormente, esse barbante é
retirado, emaranhado de qualquer forma, mas sem ser rompido, e enfiado
novamente no canudinho (figura inferior). Será que existe algum ponto
do barbante que esteja na mesma posição, em relação ao canudinho, na qual estava inicialmente?
Pois é, existe. Para mostrar isso, vamos apelar para um gráfico. A abscissa da figura a seguir (chamada,
com frequência, de eixo horizontal) representa uma posição do barbante; seus
extremos são a e b. Inicialmente, o extremo a do barbante está no
extremo A do canudinho e o extremo b do barbante, no extremo B do canudinho. A linha
reta identificada por “antes” mostra a posição no canudinho de cada ponto do barbante antes
de ser emaranhado.
Depois de emaranhado, o extremo a do
barbante está em algum ponto do canudinho, não mais necessariamente no extremo A. O outro
extremo do barbante, b, está, também, em algum ponto do
canudinho e a relação entre um ponto do barbante e a posição no canudinho é
representada pela linha “depois”. Ora,
a linha “depois” deve começar em algum ponto do eixo vertical que
passa sobre a e acabar em algum ponto da linha
tracejada que passa por b. Portanto,ambas as linhas, “antes”
e “depois”, devem ter pelo menos um ponto em comum (que pode ser algum
dos extremos da linha “antes ). Portanto, os pontos em comum estão exatamente nas mesmas posições antes e
depois do barbante ser retirado, emaranhado e recolocado no canudinho.
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = X X X X X X X X X X = = = = = = = = = = = = = = = =
Vamos esticar o problema. Suponha que você tenha uma
folha de papel sobre uma mesa (figura abaixo, à esquerda). Em seguida, você
pega essa folha e amassa, sem rasgar, colocando-a totalmente sobre a região
onde ela estava antes de amassar (figura à direita). Você saberia provar que pelo
menos um ponto do papel amassado está exatamente sobre a mesma posição (em
relação ao plano da mesa, não necessariamente em contato com ela) que estava
antes de amassar?
Uma dica. Separe (mentalmente) o papel em
faixas bem estreitas e use o mesmo raciocínio usado no caso do barbante para
mostrar que pelo menos um ponto de cada uma das faixas tem a mesma coordenada x
que tinha antes de amassar. Agora, examine pontos de faixas vizinhas que
permaneceram com a mesma coordenada x. Esses pontos são vizinhos, e formam uma
linha na outra direção do papel; portanto, pelo menos um deles terá a mesma
posição em relação à outra direção.
Essa propriedade vale, também, para coisas
em três dimensões. Se você pegar um objeto, deformá-lo como quiser (amassar,
dobrar etc., mas sem alterar sua integridade) e colocá-lo dentro do volume que
ele ocupava antes de deformar, pelo menos um ponto permanecerá no mesmo lugar.
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