Um inteligente e culto pintor recebeu uma tarefa: pintar o
teto todo estragado de um grande salão circular, no centro do qual havia uma
enorme coluna, também circular.
Para
fazer o orçamento ele precisava saber a área a ser pintada. O problema de ser
um teto e ele não dispor de uma escada não era grave, pois a construção era tal
que o chão tinha exatamente a mesma forma que o teto. Assim, ele poderia medir
a área do chão.
Mas ele não podia medir os raios dos círculos e obter,
depois de algumas contas, a área a ser pintada, pois a coluna central era maciça. Ele poderia
medir perímetros e fazer contas para calcular os raios. Mas ele não fez
isso. Ele apenas mediu o comprimento de uma linha que ia de dois pontos no
círculo externo, tangenciando o círculo interno, como mostra a figura a seguir.
Como o pintor pôde descobrir a área do anel com apenas essa medida?
A área do anel a ser pintado é igual à área do
círculo maior menos a área do círculo menor. Como a área de um círculo é igual
a π vezes o quadrado do raio, a área do anel é π multiplicado pela diferença
entre os quadrados do raio do círculo maior e o quadrado do raio do círculo menor. Mas,
olhe a figura a seguir: os raios do círculo maior e do círculo menor estão
relacionados com a metade da distância medida pelo pintor pelo teorema de
Pitágoras: a diferença entre o quadrado do raio maior e o quadrado do raio
menor é igual ao quadrado da metade do comprimento da linha medida pelo pintor.
Foi assim que nosso amigo pintor resolveu o problema.
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