Um comerciante de pérolas separou 12 delas pensando que todas fossem idênticas e de mesmo peso. Entretanto, por um descuido, incluiu entre elas uma pérola diferente, ou mais pesada ou mais leve do que as demais. Para descobrir qual delas era a pérola diferente e saber se ela é mais pesada ou mais leve do que as demais, ele tinha uma balança de comparação, dessas com dois pratos.
Como, usando apenas três vezes a balança, ele poderia descobrir a pérola mais pesada? (Tudo o que ele tinha eram as pérolas e a balança, nada mais.)
Primeira pesagem
Em uma primeira pesagem o comerciante deve colocar 4 pérolas em cada um dos pratos da balança. Caso a balança se equilibre, as pesagens seguintes devem seguir o caminho (A); caso se desequilibre, devem seguir o caminho (B).
(A) Se a balança se equilibrou, a pérola diferente não está entre as 8 pérolas já pesadas. Na segunda pesagem, nosso amigo deve colocar em um dos pratos uma das pérolas ainda não pesadas com uma das pérolas já pesadas e, portanto, não suspeitas. No outro prato, deve colocar duas das 4 pérolas suspeitas, deixando uma das suspeitas de fora.
(A1) Caso o prato da balança com as duas pérolas suspeitas se mostre mais pesado, ela saberá que ou a pérola diferente é mais pesada e está entre as duas do prato mais pesado, ou é mais leve e é aquela que ficou no prato com uma das pérolas “boas”. Na terceira pesagem, o comerciante deve colocar as duas pérolas que ficaram no prato mais pesado, uma em cada um dos pratos da balança: se equilibrar, a pérola diferente é aquela que esteve no prato mais leve, e que ele não usou nessa terceira pesagem, e é mais leve. Caso contrário, é a mais pesada das duas usadas na terceira pesagem. (Evidentemente, caso o prato com as duas pérolas suspeitas se mostre mais leve na segunda pesagem, e não mais pesado, o procedimento é análogo.)
(B) Caso a balança se desequilibre na primeira pesagem, a segunda pesagem deve ser feita da forma que segue. Vamos identificar por 1, 2, 3 e 4 as pérolas que estavam no prato mais leve depois da primeira pesagem, e por 5, 6, 7 e 8 as que estavam no prato mais pesado. A segunda pesagem pode ser feita colocando em um dos pratos as pérolas 1, 2 e 5 e no outro, as pérolas 6, 3 e uma das não suspeitas.
(B1) Caso os pratos se equilibrem após essa segunda pesagem, a pérola diferente ou é a 4, e mais leve, ou é 7 ou a 8 e mais pesada. Comparando as pérolas 7 e 8 nosso amigo descobrirá a pérola diferente e saberá se ela é mais leve ou mais pesada do que as outras.
(B2) Caso os pratos não se equilibrem após a segunda pesagem e o mais pesado na primeira pesagem continue a ser o mais pesado, então ou uma das pérolas entre a 1 e a 2 é mais leve ou a 6 é mais pesada. Uma terceira pesagem com as pérolas 1 e 2, uma em cada prato, resolve o problema. Caso os pratos não se equilibrem, mas o que era mais leve se torna mais pesado, a pérola diferente é uma das que foram trocadas de prato: ou a 3, e é mais leve, ou a 5 é mais pesada. A terceira pesagem resolve o problema.
No início do problema, havia 24 possibilidades para os pesos das pérolas: ou uma das 12 era mais pesada, ou era mais leve. Depois da primeira pesagem, ela estava reduzida para 8. Após a segunda pesagem, a quantidade de dúvidas estava reduzida a duas (por acaso) ou a três. Finalmente, após a terceira pesagem não havia mais dúvidas. Aparentemente, a cada pesagem a quantidade de possibilidades é reduzida por um fator três. (Veja o quebra-cabeça "As 27 pérolas".) Se isso é verdade, será que é possível descobrir uma pérola diferente, mais pesada ou mais leve, entre 13? Afinal, temos 26 possibilidades de início. Se conseguirmos reduzir por um fator 3 a cada vez...
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