No mercado de uma cidade, há um agricultor que vende os
produtos que planta, medindo-os por peso. Para isso ele usa uma balança de
comparação, com dois pratos, como a da figura, tendo 40 pedras, cada uma de um
quilograma, usadas para medir a quantidade de produto desejado. Ele só vende
quantidades que correspondem a valores inteiros de massas entre 1 e 40 kg.
Mas,
felizmente, quando contou seu problema para um amigo, interessado em
quebra-cabeças numéricos, ouviu dele: “você não precisa de 40 pedras; bastam 4”.
Quanto pesam essas 4 pedras?
Aqui vai a resposta.
Como é uma balança de dois pratos, ele pode colocar os pesos em ambos os
pratos. Assim, pedras com 1 kg, 3 kg, 9 kg e 27 kg resolvem
o problema. Para pesar um produto de 1 kg, basta colocá‑lo em um dos
pratos da balança e a pedra de 1 kg no outro. Para pesar 2 kg, coloca‑se
o produto em um dos pratos juntamente com a pedra de 1 kg e no outro, a
pedra de 3 kg: os pratos ficarão equilibrados, pois em ambos há 3 kg.
A figura mostra, por exemplo, como ele pesaria um produto de 17 kg.
Examinando com paciência, você verá que é possível pesar qualquer coisa entre 1 kg
e 40 kg com as quatro pedras apenas.
Bases numéricas
Uma possibilidade para
se pesar qualquer coisa até 40 kg seria usar pedras na base dois: 1, 2, 4,
8, 16 e 32 kg e apenas um dos pratos da balança, deixando o produto a ser
pesado sozinho no outro prato. (Note que com essas pedras podemos pesar até
63 kg.) Com aquelas pedras podemos balancear qualquer peso. Por exemplo,
37 kg=32 kg+4 kg+1 kg. Por similaridade com a base dois, é
como se escrevêssemos 100101, Ou seja, colocar uma pedra na balança (lembre-se:
estamos usando apenas um prato para as pedras) é como usar o dígito 1 na
posição correspondente àquela pedra; não colocar uma determinada pedra, é como
colocar um dígito 0 na casa correspondente a ela. Mas, nesse caso das pedras 1,
2, 4, 8, 16 e 32, seriam necessárias mais pedras, 6, do que a solução das quatro
pedras com 1, 3, 9 e 27 kg.
Epa! Esses valores são potências de 3: 3
elevado a zero, que é um; 3 elevado a um, que é 3; a seguinte é 3×3=9; a
próxima é 3 ao cubo, 3×3×3=27. Será que a solução tem alguma similaridade com a
base 3? Tem. A rigor, na base 3 precisaríamos três algarismos, 0, 1 e 2 para
representar um número. Assim, se tivéssemos duas pedras de 1 kg, duas de
3 kg etc, poderíamos construir qualquer valor usando-as em apenas um dos
pratos e colocando a mercadoria a ser pesada no outro, Mas como só temos duas
possibilidades, colocar ou não uma pedra, usamos um truque, aproveitando o fato
que podemos usar os dois pratos da balança.
Vamos ver esse truque com um
exemplo. O número 6 na base dez é 20 na base 3. Mas também podemos representar
o número 6 como 100-10 na base 3 (que é igual a 9-3 na base 10). Isso
corresponde a colocar o peso de 9 kg (100) em um dos pratos e o de
3 kg (10) no outro. A diferença será de 6 kg. Ou seja, embora não
tenhamos os três dígitos 0, 1 e 2, temos os dígitos -1, 0 e 1, também três!
Aproveitando essa possibilidade de
subtração, podemos representar qualquer número de 1 até 40 e, portanto, pesar
qualquer coisa entre 1 kg e 40 kg,
E
as moedas?
Nós
pagamos coisas com dinheiro. Para isso é necessário que o carreguemos nos
bolsos. Claro que esse dinheiro poderia se resumir a apenas um valor, por
exemplo, moedas de 10 centavos. Assim, sairíamos de casa com centenas delas no
bolso para as despesas diárias. Mas moedas com apenas um valor seria pouco
prático, então, inventamos moedas e cédulas em papel com diferentes valores e
na hora do pagamento, escolhemos as mais adequadas.
As moedas (moedas e papel)
brasileiras são divididas de uma forma estranha: 0,10, 0,25, 0,50, 1, 2, 5, 10 ...(tudo
em reais). Esses valores são, aproximadamente, proporcionais a 1, 2, 4, 8 etc.,
quase como na base dois. Ora, comprar coisas é quase como equilibrar coisas em
uma balança de dois pratos. Quando compramos alguma coisa, entregamos ao
vendedor certo valor em dinheiro e ele nos entrega a mercadoria e outra
quantidade de dinheiro. Se os valores das moedas fossem iguais aos valores das
posições na base três, 1, 3, 9, 27, 81 ...,não reduziria a quantidade
necessária de notas de papel e moedas carregadas pelas pessoas, como ocorreu no
caso da balança, no qual pesos na base 3 se mostraram mais eficientes do que na
base dois? (Como temos facilidade para fazer com número redondos, esses valores
poderiam ser 1, 3, 10, 30, 100 ....)
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Legal demais
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