Uma pobre formiga está em um extremo de um elástico de 10 cm de
comprimento. No outro extremo do elástico está um delicioso grão de açúcar A
formiga não teria nenhuma dificuldade para chegar até o grão de açúcar se não
fosse o fato que o elástico é segurado por uma criança que o estica de
10 cm, instantaneamente, a cada vez que a formiga anda um centímetro. O
elástico é esticado por um todo, tanto o pedaço que a formiga já andou como o
trecho que a separa do grão de açúcar.
Se inicialmente a formiga estava a 10 cm do grão de açúcar, depois
de andar um centímetro, o elástico será esticado até ter 20 cm de
comprimento, de tal forma que o trecho andado passará a ter dois centímetros e
o trecho a andar, 18 cm. Mais um centímetro andado, e a criança estica o
elástico de mais 10 cm, fazendo com que o trecho andado passe a ter
3 cm e o grão de açúcar fique a 17 cm de distância da formiga.
Como este não é um problema da vida real, imagine que o elástico pode
ser esticado indefinidamente e a formiga não deixará, nunca, de se deslocar em
direção ao açúcar. A formiga conseguirá chegar até o grão de açúcar?
Aparentemente, a distância a ser
percorrida até o açúcar aumenta cada vez que o elástico é esticado. Afinal, no
início, a formiga estava a 10 cm do açúcar; depois de andar um centímetro
e o elástico ser esticado para 20 cm, ela estará a 18 cm do açúcar
(lembre-se o elástico se estica totalmente, tanto na parte já percorrida pela
formiga como na parte ainda a percorrer). Mais um centímetro andado, ela ficará
a 17 cm do açúcar. Mas, aí, o elástico é novamente esticado; a distância
percorrida é passa a ter 4,5 cm, mas o grão de açúcar estará a
30 cm-4,5 cm=25,5 cm. Portanto, parece que a formiga jamais
alcançará o precioso grão de açúcar.
Mas
não é bem assim. Vamos voltar aos números harmônicos. No primeiro movimento, a
formiga terá andado 1/10 do total a ser percorrido. No segundo movimento,
quando o elástico tiver 20 cm, ela andará 1/20 do total. No terceiro
movimento, quando o elástico tiver 30 cm, ela andará 1/30 do total. Portanto,
depois de n movimentos, ela terá andado uma fração do total igual a
1/10+1/20+1/30 +1/10n .
Como essa soma é do mesmo tipo que as
somas que encontramos nos problemas do deserto, ela crescerá sempre que n
crescer. A questão a saber é qual será o valor de n para que a soma seja igual
a um. Pois bem, n será 12.367 e quando a formiga atingir o açúcar, o elástico
terá mais do que 1,2 km de comprimento.
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