Depois
de um dia de pescaria, três pescadores foram dormir, cada um em sua barraca,
deixando os peixes em um tanque. Mas, no meio da noite, começou a chover forte.
A chuva acordou um deles, que decidiu pegar sua parte dos peixes - um terço
deles - e ir embora. Mas o número de peixes no tanque não era divisível por 3.
Ele, então, jogou um de volta no mar e o que restou era divisível por três.
Pegou um terço deles e foi embora.
Mais tarde, um segundo pescador acordou e também resolveu pegar
sua parte dos peixes e ir embora. Sem saber que um de seus companheiros já
tinha ido embora, resolveu pegar um terço dos peixes, a sua parte na pescaria.
Mas, novamente, o número de peixes no tanque não era múltiplo de 3; mas, se
jogasse um de volta na água, seria. Fez isso, pegou um terço dos peixes e foi
embora.
O terceiro pescador, pensando que seus dois companheiros
ainda dormiam, fez o mesmo que os outros dois e, como eles, precisou jogar um
peixe de volta no mar para que o número de peixes no tanque fosse múltiplo de
três. Pegou, então, um terço deles e foi embora.
Qual o menor número de peixes que havia no tanque para que
isso acontecesse?
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Solução obtida pela “força bruta”
Você
pode atacar esse problema pelo método de “tentativa e erro” ou, se preferir,
pelo método da “força bruta”. Por exemplo, suponha que o último pescador tenha
encontrado 4 peixes no tanque, o menor número inteiro que, subtraindo‑se 1, é
múltiplo de 3 (um número inteiro e não‑negativo, 0, 1, 2, 3 ..., é chamado de
número natural). Se o último pescador a ir embora encontrou 4 peixes no tanque é
porque o segundo pescador encontrou 7 peixes: jogou um no mar, ficando 6 peixes
no tanque, pegou um terço deles, ou seja, 2, deixando 4. Continuando o
raciocínio, concluiríamos que para sobrarem 7 peixes no tanque, o primeiro
pescador precisaria ter encontrado 11,5 peixes, pois 11,5 menos 1, que ele
jogou no mar, daria 10,5. E 10,5 menos um terço (3,5), dá 7. Como 11,5 não é
aceitável para uma quantidade de peixes, concluímos que a hipótese inicial, de
haver 4 peixes no tanque quando o terceiro pescador acordou, não é possível.
O
menor número seguinte depois do 4 tal que menos 1 é múltiplo de 3 é 7. Mas esse
também não serve, pois implicaria em ter o segundo pescador encontrado 11,5
peixes no tanque.
A
próxima tentativa é 10, que é a solução do problema: se o terceiro pescador
encontrou 10 peixes é porque o segundo encontrou 16 (16-1=15 que, menos um
terço desse valor resulta em 10) e o primeiro, 25 (25-1=24 que, menos 8, dá
10).
Solução “elegante”
Tentativa
e erro é uma forma legítima de se resolver um problema, embora seja, muitas
vezes, uma forma extremamente trabalhosa. Além de trabalhosa, a técnica de
tentativa e erro é considerada “feia”, pouco elegante. Matemáticos, físicos e
outros cientistas preferem soluções mais elegantes, tanto quando fazem cálculos
como quando realizam experimentos. Então, aqui vai uma solução “elegante”.
Vamos, agora,
começar com o primeiro pescador a acordar. Mas, inicialmente, vamos preparar as
coisas para o raciocínio “elegante”.
Suponha
que o número de peixes no tanque encontrados pelo primeiro pescador seja A. Mas
esse número deve ser do tipo A=3B+1, onde B é um número inteiro e não negativo,
para que, quando for subtraído 1 seja múltiplo de 3. Assim, o primeiro pescador
a acordar jogou um peixe fora, pegou B peixes e deixou 2B no tanque.
Esses
2B peixes foram encontrados pelo segundo pescador. Pela mesma razão, 2B deve
ser um número múltiplo de três mais 1: 2B=3C+1, onde C é um número inteiro não negativo.
Esse segundo pescador jogou um peixe na água, pegou C peixes e deixou 2C no
tanque, que foram encontrados pelo terceiro pescador a acordar. Como este
terceiro pescador precisou jogar um peixe no mar para que sobrassem uma
quantidade de peixes que fosse múltiplo de 3, então 2C=3D+1.
Mas, novamente, 2C=3D+1, sendo D a
quantidade de peixes pega pelo terceiro pescador, que deixou 2D no tanque.
Agora, vamos ao raciocínio elegante.
Observe
que se 2C=3D+1, então, como
2C é necessariamente um número par, D deve ser um número ímpar. Podemos
representar um número ímpar na forma 2N+1, onde N pode ser 0, 1, 2, 3 etc.
Então, substituindo D por 2N+1 na equação 2C=3D+1, obtemos 2C=6N+4, ou C=3N+2.
Vamos, agora, substituir esse valor de
C na equação 2B=3C+1. Isso resulta em 2B=9N+7. Como 2B é par, então 9N deve ser
ímpar e, portanto, N também deve ser ímpar. Como já fizemos, podemos
representar esse número ímpar por N=2M+1, onde M=0, 1, 2 etc. Feito isso, temos
2B=18M+16. Dividindo tudo por dois, temos B=9M+8.
Como A=3B+1, usando esse último valor
de B, temos A=27M+25.
Resumindo tudo isso, as quantidades de
peixes encontradas no tanque pelos três pescadores são:
A=27M+25
2B=18M+16
2C=12M+10
Pois bem, as menores quantidades
correspondem a M=0, o que resulta em A=25; 2B=16; 2C=10. Mesmo resultado que
foi obtido pelo método de tentativa e erro.
Uma solução
estranha
A solução com M=0 é aquela
correspondente ao menor número de peixes no tanque. Mas M=1, 2, 3 etc. também correspondem
a situações nas quais o primeiro pescador joga um peixe fora e tira um terço
dos restantes, o segundo pescador faz o mesmo e o terceiro, idem. Por exemplo,
M=1 corresponde a 52, 34 e 22 peixes.
Claro
que quando um número corresponde a uma quantidade de peixes, ele só pode ser um
número natural (0, 1, 2,...). Entretanto, as equações são válida mesmo que M
seja negativo. Por exemplo, se M=‑1, teríamos
a seguintes situação: o primeiro pescador encontra ‑2 peixes no tanque; joga 1
fora, ficando com ‑3 peixes; tira 1 peixe, ficando com ‑3‑ (‑1)=‑2; o segundo
pescador encontra ‑2 peixes e faz o mesmo, deixando ‑2 peixes para o terceiro. M=‑2,
‑3 etc., também são soluções correspondentes a número inteiros, mas como se
trata de quantidade de peixes, abandonamos as soluções negativas. Situações
como essas, nas quais existem soluções algébricas para os problemas, mas que
não são fisicamente aceitáveis – não existem quantidades negativas de peixes – são
bem comuns: soluções algebricamente corretas podem ser descartadas caso não
sejam aceitáveis por critérios que nada têm com a matemática.
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