Um aventureiro quer
explorar um deserto. Para isso, ele precisa dispor de água suficiente para
entrar e, claro, sair do deserto. Como no caso Atravessando o Deserto, nosso amigo aventureiro, que vai consumindo
água a cada passo que dá, só pode carregar uma quantidade limitada desse
precioso líquido, suficiente apenas para andar uma distância D. Portanto, isso permite que ele
penetre uma distância D/2 deserto
adentro, gastando metade da água na ida e outro tanto na volta. Também como no
outro caso, ele pode armazenar água ao longo do caminho em recipientes que nada
perdem por evaporação.
Que estratégia de
armazenamento de água nosso amigo deve usar para penetrar no (e sair do) deserto
de uma determinada distância maior do que D?
Se o aventureiro não armazenar água em
lugar algum, ele só pode penetrar uma distância D/2, gastando metade da água na
ida e a metade restante na volta. (Veja a parte superior da figura.)
Um só ponto de re
bastecimento
Mas
ele pode fazer as seguintes operações (representada na parte intermediária da figura).
1) Anda D/4, armazena um volume de água igual à metade da que consegue carregar e consome o restante da água durante a volta.
1) Anda D/4, armazena um volume de água igual à metade da que consegue carregar e consome o restante da água durante a volta.
2)
Chegando no início, enche novamente seu recipiente, e entra no deserto.
3)
Ao passar pelo depósito que fez, já terá gasto 1/4 da água que consegue carregar.
Aí ele reabastece seu recipiente, deixando no reservatório uma quantidade de
água correspondente à quarta parte do todo, e continua por uma distância D/2,
depois do que começa a voltar.
4)
Na volta, ao chegar ao depósito, sua reserva estará vazia, mas encontrará ali
uma quantidade de água que lhe permitirá andar uma distância D/4 e chegar ao
ponto inicial.
Com essa estratégia, ele conseguirá
penetrar uma distância D/4+D/2=(3/4)D no deserto.
Dois depósitos de reabastecimento
Se a estratégia anterior, com apenas um
depósito, ainda for insuficiente para explorar toda a parte do deserto que o
aventureiro deseja, ele pode fazer dois pontos de reabastecimento de água
(parte inferior da figura).
1)
Inicialmente, ele anda uma distância igual a D/6, deixando em um primeiro
depósito uma quantidade de água suficiente para andar 4/6 da distância D e
volta, usando o restante da água.
2)
Em uma segunda viagem, ao passar pelo primeiro depósito de água que fez, já
terá consumido 1/6 da água que consegue carregar. Então ele completa seu
estoque. Nesse primeiro depósito restará água suficiente para andar (3/6)D.
3)
A partir daí, segue por uma distância D/4 e faz um segundo depósito com uma
quantidade de água suficiente para andar uma distância D/2, e reservando uma
quantidade para andar D/4 consigo, suficiente para chegar até o primeiro ponto.
4)
Ao passar pelo primeiro ponto de
reabastecimento, seu estoque de água estará esgotado. Então ele pega um
volume de água equivalente à distância D/6 e volta ao início. Nesse primeiro
ponto de reabastecimento restará água suficiente para andar (2/6)D
(evidentemente igual a D/3)..
5)
Na terceira vez que entrar no deserto, ele pegará do primeiro ponto de
reabastecimento um volume suficiente par andar D/6, o que completa o volume
máximo que consegue carregar, deixando outro tanto ali. Ao chegar ao segundo
ponto de reabastecimento, recolhe o equivalente a uma distância D/4, que foi
exatamente o quanto gatou entre o primeiro e o segundo ponto de
reabastecimento.
6)
Finalmente, anda uma distância D/2 e começa a volta. A cada vez que chegar a um
ponto de reabastecimento, sua reserva de água estará vazia, mas encontrará lá
uma quantidade de água exatamente igual ao que necessita até o ponto seguinte
ou até o início.
No total, ele terá penetrado (1/6+1/4+1/2)D=(11/12)D.
Caso isso ainda não seja suficiente, o aventureiro pode fazer três pontos de
reabastecimento, o primeiro deles a 1/8 da distância máxima que pode andar
seguido de outros dois depósitos como os anteriores. Essa estratégia pode ser
repetida quantas vezes for ele precisar. Por exemplo, com 5 pontos de
reabastecimento ele poderá penetrar (1/2+1/4+1/6+1/8+1/10+1/12)D no deserto.
Uma soma como essa, assim como aquela
do problema Atravessando o deserto, desde que tenha uma quantidade
suficientemente grande de termos, pode ser tão grande quando se desejar.
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