Um aventureiro está em um oásis, onde há uma abundante fonte
de água. Mas ele precisa sair daí, o que implica em uma longa caminhada pelo
deserto e, para isso, ele precisa de água, muita água, a qual ele deve ir
bebendo ao longo do caminho, um pequeno gole a cada passo. Só que há um
problema. A quantidade de água que ele consegue carregar é suficiente apenas
para chegar até o meio do caminho.
Mas
ele tem uma possibilidade. Ele pode caminhar um pouco deserto adentro
carregando um recipiente vazio – ele não tem dificuldade alguma para carregar
recipientes vazios e há muitos deles no oásis. Ao chegar em determinado ponto,
ele pode deixar um pouco da água que não bebeu no recipiente, como reserva para
quando por lá passar, e voltar ao oásis. Claro que para a volta ele deve ter
água suficiente. Dessa forma, ele pode estabelecer vários pontos de reserva de
água ao longo do deserto, mas a cada vez que ele sai do oásis, o volume de agua
que consegue transportar é sempre o mesmo. (Os recipientes onde a água será
guardada evitam perda por evaporação.)
Como o aventureiro deve distribuir os pontos de
reabastecimento de água para conseguir deixar o deserto com menor número de
idas e vindas?
(Esse problema é também conhecido como o “problema do jipe”,
no qual um jipe substitui o aventureiro e seu combustível substitui a água.)
Vamos chamar de D a
distância máxima que nosso amigo aventureiro pode andar com a água que consegue
carregar. Essa distância é suficiente para chegar até a metade do caminho
Vamos
fazer uma primeira tentativa fazendo um único ponto de reabastecimento. O
aventureiro sai do oásis carregando toda a água que consegue. Ao consumir 1/3
dela – e, portanto, ter andado uma distância igual a D/3 – ele pega uma
quantidade de água igual a 1/3 do conteúdo total e a deixe em um recipiente
nesse primeiro ponto. A água restante que carregará, também 1/3 do total, é
exatamente o suficiente para voltar ao oásis. No oásis, ele enche novamente seu
recipiente de água e volta ao deserto. Ao chega ao ponto onde deixou uma
primeira reserva de água, ele terá consumido 1/3 da água que carregava; mas
nesse ponto tem exatamente 1/3 do volume total reservado. Ele então recolhe
essa água e completa seu estoque. A água, agora, será suficiente pera andar
mais uma distância igual a D. Essa estratégia permite que ele penetre uma
distância igual a D/3+D=(4/3)D.
Mas
essa distância ainda seria insuficiente para sair do deserto, o que exige que
ele ande uma distância 2D. Portanto, fazer reserva de água em um único ponto é
insuficiente. Então ele pode tentar fazer dois pontos de reserva para
reabastecimento. Começando tudo de novo, ele sai do oásis e anda uma distância D/5.
Nesse ponto, ele deixa 3/5 do volume total em um recipiente e volta, gastando o
restante 1/5 do volume. Novamente, ele sai do oásis com sua carga total de
água. Ao chegar ao ponto onde ele havia deixa a água, ele recolhe 1/5 do volume
total, completando sua carga de água. (Nesse primeiro ponto de reserva restará
um volume de água igual a 2/5 do total.) Então ele caminha uma distância igual
a D/3, faz um segundo ponto de reserva de água com 1/3 do total e volta ao
primeiro ponto. Ao chegar aí, seu estoque de água estará zerado; então ele pega
1/5 do volume total de água e volta ao oásis. Nesse ponto de reabastecimento restará
um volume de água de 1/5 do total. No oásis, ele reabastece, anda até o
primeiro ponto – o que consumirá 1/5 da água –, pega o quinto de água restante
nesse ponto e segue até o próximo ponto, a uma distância D/3 desse primeiro
ponto. Aí, ele pega a água armazenada e continua andando, o que pode fazer por
uma distância D. Ao todo, essa estratégia de fazer dois pontos de
reabastecimento permite que ele penetre uma distância de (1/5+1/3+1)D=(23/15)D no deserto. Mas isso ainda é insuficiente para
atravessar o deserto.
A
próxima tentativa é fazer três pontos de abastecimento, um primeiro a D/7 do
oásis, onde ele deixará, na primeira viagem, 5/7 da água. Então ele volta ao
oásis e sai para estabelece o segundo ponto de reabastecimento a D/5 do
primeiro ponto, deixando 1/5 da água na primeira viagem. A seguir, volta ao
primeiro ponto, recolhe um volume igual a 1/7 do total e retorna ao oásis. O
terceiro ponto é estabelecido a uma distância D/3 além segundo ponto, repetindo
o mesmo tipo de procedimento, voltando ao oásis depois disso e recolhendo a
água necessária a cada ponto pelo qual passar. Esses três pontos de
reabastecimento permitem andar (1/7+1/5+1/3+1)D=(176/105)D, ainda insuficiente.
Continuando com esse raciocínio,
vemos que são necessários 15 pontos de reabastecimento. Com esses pontos, o
aventureiro conseguirá andar (1/15+1/13+1/11...+1/3+1)D=2,02D e, portanto, sair
do deserto.
Com
essa estratégia, é possível atravessar qualquer deserto, pois a soma do tipo
que aparece acima pode assumir um valor tão grande quanto se queira. Na
linguagem da matemática, a soma 1+1/3+1/5+1/7+1/9..., sem acabar nunca,
“diverge” ou, em linguagem mais coloquial, é infinita.
O
problema de atravessar o deserto, fazendo pontos de reabastecimento de água, é
de ordem prática. Para atravessar um deserto cuja extensão é igual àquela que se
consegue fazer com a água que o aventureiro consegue carregar basta uma viagem.
Mas se a distância é duas vezes maior, precisamos construir 15 depósitos para
reabastecimento e, portanto, sair e voltar ao oásis 15 vezes. Se a distância a
atravessar for três vezes aquela que se consegue andar com um estoque de água,
seriam necessários mais do que 100 idas e vindas e 100 pontos de reabastecimento.
Nenhum comentário:
Postar um comentário